Lo que sucede antes de la dona y el pocillo

Si usted alguna vez se ha cruzado con la topología, probablemente haya escuchado que en en esta disciplina “una dona y un pocillo son equivalentes, ya que amasando y moldeando uno podemos conseguir otro, y cada uno tiene solo un orificio”. Si bien es un ejemplo fantásticamente sencillo del concepto de homeomorfismo, este omite bastantes conceptos claves de topología, lo cual no es aceptable para un estudio riguroso de esta disciplina.

Un estudio serio requiere que nos preguntemos: ¿Qué es “amasar” o “moldear”? ¿Qué significa que algo “tenga un orificio”? ¿Cómo formalizamos estas ideas intuitivas? Esto es lo que trataremos de responder en esta entrada.

En la entrada Aprendiendo a medir ya vimos cómo nuestro concepto intuitivo de distancia puede variar dependiendo de cómo lo definamos, pero todas estas definiciones cumplen ciertas condiciones. Recordemos que dichas condiciones son:

Con esta definición, ya podemos aventurarnos y avanzar en la topología haciendo uso de otras definiciones, como por ejemplo la de espacio métrico, el cual básicamente es un conjunto donde existe una distancia.

Un concepto que generalmente se ha escuchado antes de llegar a un curso de topología es el de intervalo abierto o intervalo cerrado, pero estos son meros casos específicos de conjuntos abiertos y conjuntos cerrados, los cuales definiremos posteriormente al ver la definición de bola abierta en un espacio métrico.

Destaquemos brevemente la importancia de los axiomas ZF para garantizar que este conjunto existe dado que existe dicho espacio métrico.

A pesar de que el concepto de bola abierta pueda parecer un conjunto sospechosamente específico, en realidad es un concepto fundamental para definir qué son los conjuntos abiertos y cerrados.

Un ejemplo relativamente sencillo es que, trabajando en el plano real y con la métrica euclidiana, una bola abierta centrada en el origen de radio 1 es un conjunto abierto, ya que siempre se puede construir otra bola abierta enteramente contenida en ella.

A pesar de que suene redundante, una bola abierta es siempre un conjunto abierto. La idea intuitiva de conjunto abierto consiste en que dado un cierto punto, uno siempre podrá dar un paso infinitesimal en cualquier dirección y permanecer en el mismo conjunto.

Siendo así, uno podría verse inclinado a pensar que a lo mejor un conjunto cerrado es simplemente un subconjunto de un espacio métrico que no es abierto, pero lastimosamente (o afortunadamente) no es así. De hecho, existen conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados y también los hay que son simultáneamente abiertos y cerrados (los cuales llamamos clopen).

Otro concepto primordial a precisar antes de definir qué es un conjunto cerrado, es el de punto de acumulacion.

Volviendo a nuestro ejemplo en el plano real, todos los puntos que pertenecen a la circunferencia de radio 1 y centro en el origen son puntos de acumulación de la bola que definimos anteriormente.

Un ejemplo más simple consiste en ver que el intervalo real [0,1) tiene como puntos de acumulación a 0 y a 1.

Siendo así, la definición de conjunto cerrado resulta bastante fácil de comprender, la cual es:

Notemos que generalmente es adecuado especificar sobre qué espacio medible estamos trabajando al momento de enunciar los conjuntos.

Por lo tanto, ya podemos formar múltiples ejemplos de conjuntos abiertos, cerrados, clopen o ninguno de ellos:

Puede parecer extraño que el conjunto vacío sea clopen para todo espacio métrico o que si un conjunto es un espacio métrico entonces dicho conjunto es clopen, pero esto se puede ver fácilmente, ya que el conjunto vacío contiene a todos sus puntos de acumulación (no existe ninguno, así que trivialmente los contiene) así que es cerrado. Para toda bola centrada en algún punto del conjunto vacío existe una bola enteramente contenida en el conjunto vacío; como no existe ningún punto en el conjunto vacío, el antecedente de esta implicación es falso y por tanto esto es trivialmente verdadero, así el conjunto vacío es simultáneamente abierto y cerrado. El razonamiento para ver que si un conjunto es un espacio métrico entonces también es clopen, es análogo.

Ahora, ya hemos dado bases suficientes para poder definir lo que es una topología y un espacio topológico y con ellas avanzar hacia los homeomorfismos. No nos vamos a realizar un estudio amplio de los espacios topológicos, ya que solo necesitamos su definición para nuestra futura definición de homeomorfismo, aun así recomendamos estudiarlos otras fuentes ya que son un concepto clave en la topología.

Primero que todo, veamos la definición de topología y espacio topológico:

Si bien esta definición parece no guardar una relación con lo que se ha definido anteriormente, veremos que tal relación existe.

Una topología particular que existe para cualquier espacio métrico es la colección de todos los conjuntos abiertos de dicho espacio métrico, la cual, gracias a que la unión de conjuntos abiertos es abierta y que la intersección finita de conjuntos abiertos es abierta, es una topología.

Estos conceptos nos son de gran utilidad para generalizar un concepto de gran importancia, el cual es la continuidad de una función.

Así, ya contamos con una generalización de la noción de continuidad de una función, y una de sus consecuencias más importantes es la definición de homeomorfismo.

De esta manera, ya nos es posible ver que nuestra afirmación inicial de “un pocillo y una dona son equivalentes” condensa el hecho de que existe un homeomorfismo entre ellos. Ya que nuestra idea intuitiva de “amasar y moldear sin cortar o pegar” es en realidad la idea de preservar conjuntos abiertos y conjuntos cerrados (de hecho la definición de que una función continua “preserva” conjuntos abiertos, es equivalente a que “preserve” conjuntos cerrados).

Podríamos continuar este estudio de homeomorfismos pero cerraremos esta entrada compartiendo un avance que evidencia la relación entre la física y la topología. Se trata de nada menos que el avance que lograron los ganadores del Premio Nobel de Física de 2016 David J. Thouless, F. Duncan M. Haldane y J. Michael Kosterlitz, “Por los descubrimientos teóricos de las transiciones de fase topológica y fases topológicas de la materia” [1] y si el lector desea sumergirse brevemente en este tema, recomentamos el siguiente video que explica de forma sumamente sencilla este avance.

Próximamente ahondaremos más en lo que son los espacios topológicos y examinaremos más a profundidad esta maravillosa rama de las matemáticas.