Aprendiendo a medir

Para dar una pequeña introducción a la topología, veremos que la forma en la que medimos distancias cotidianamente es solo una de las varias formas en las que podemos hacerlo.

Normalmente en un mundo bidimensional o tridimensional, nuestra noción de medir una distancia entre dos puntos es tomar una recta que pase que pase por esos dos puntos y de ahí tomar la magnitud que llamamos distancia, esto se denomina distancia euclidiana y normalmente no pensamos muy fuera de ella, ¿O si lo hacemos?

Si este grafico representara un mapa de una ciudad donde las rectas blancas son calles y los cuadros negros son cuadras, y si alguien deseara desplazarse del punto A al punto B, esa persona probablemente pensará “Tengo que moverme 2 cuadras al oriente y 3 hacia el norte, en total serian 5” y probablemente nadie se atrevería a decir que este razonamiento es incorrecto, o que “la distancia no es 5 cuadras” pero sabemos que esas 5 cuadras no es la distancia que mediríamos en otros contextos cotidianos. Pero esta “medida” de cuadras se comporta de forma muy similar a nuestra medida tradicional, puede que no lo parezca, pero veremos que es así.

Sabemos que, en nuestra medida tradicional, dos puntos tienen una distancia de cero si y solamente si son el mismo punto, esto también se cumple para nuestra medida de cuadras. Y también otras propiedades mas intuitivas, como por ejemplo que la distancia entre A y B es la misma que entre B y A, y que las distancias son siempre no negativas.

También sabemos que, en la medida tradicional, si tenemos un trayecto entre A y C, y tomamos un desvío pasando por otro punto B, entonces la distancia con aquel desvío será mayor o en el mejor de los casos igual a la distancia sin el desvío. Esto quiere decir la menor distancia entre dos puntos siempre será la línea recta que pasa por ellos, pero en nuestra medida de cuadras también es así.

Por ejemplo, aquí, si vamos desde A hasta B tomando un desvío en C, la distancia que hemos recorrido será mayor a la que habríamos recorrido si hubiéramos ido directamente a B. Pero también podemos ver que, si nuestro desvío es hacia D, la distancia recorrida es igual, 5 cuadras. De hecho, se puede demostrar que cualquier desvío solo aumenta o deja igual la distancia recorrida.

A esta forma tan particular de medida se le llama Geometría del Taxista (Taxicab Geometry), y es una de las tantas formas de medir que existen, pero antes de nombrarlas ¿Qué es una forma de medir?

Una distancia o métrica es una función que toma dos puntos para enviarlos en un valor real, y que cumple las propiedades anteriormente mencionadas, o sea una distancia entre dos puntos es cero si y solo si esos dos puntos son iguales, la distancia de un punto A a B es la misma que de B a A, y que tomar un desvío siempre aumenta o deja igual la distancia, esta última es la famosa desigualdad triangular.

Siendo así podemos ver que existen otras formas de medir, o métricas. Un gran ejemplo es la Distancia de Chebyshov, la cual, formalmente enuncia que la distancia entre dos puntos es la mayor de sus diferencias a lo largo de cualquiera de las dimensiones coordenadas, esto es más fácil de ver con un pequeño ejemplo, el cual también le da a esta métrica el nombre de Distancia del Tablero de Ajedrez.

Aquí se puede ver que la Distancia de Chebyshov describe el numero de movimientos que tendría que hacer la ficha del rey para llegar a determinada casilla, tomando como ejes dimensionales a los bordes del tablero.

Otra aplicación de las métricas pertenece a la Teoría de la Información, donde se denomina Distancia de Hamming al numero de bits que se tienen que cambiar para transformar una palabra de código cálida en otra palabra de código válida.

Por ejemplo, la distancia de Hamming entre 1010110 y 1000100 es de 2. Esto es de gran importancia en esta campo ya que entre mayor sea la distancia de Hamming, menor es el riesgo de que un código válido se transofrme en algun otro código válido por alguna serie de errores y que esto genere problemas. Se puede ver que esto cumple todas las condiciones para ser una métrica.

En una futura entrada empezaremos a ver como estas diversas medidas nos llevan a empezar a construir la topología, una rama bastante importante de las matemáticas.