Un avance de aplicación

A partir del conocimiento de conjuntos que hemos iniciado a desarrollar, se ha podido pasar de una noción intuitiva a una definida acerca de qué es un conjunto en rasgos considerables, Uno de los aspectos que tomaremos en cuenta, es la característica que puede tener un conjunto de ser ordenado (parcial o totalmente). Con esto en mente avanzaremos en la relación de la teoría de conjuntos con la gravedad cuántica.

Para lograr esto, primero daremos un par de definiciones de propiedades importantes acerca de los conjuntos.

Definición: Se dice que un conjunto P es irreflexivo, si para todo x, y que pertenecen a P, si x<y, y y<x implica que x=y. Formalmente:

Definición: Se dice que un conjunto P es localmente finito si es un conjunto parcialmente ordenado, tal que para todo x, y que pertenecen a P, el intervalo cerrado [x, y] consta de un número finito de elementos. Formalmente:

Así, pues, podremos comprender mejor la definición de conjunto causal que se presentará a continuación.

Definición:

Las dos primeras condiciones definen un conjunto parcialmente ordenado. La condición de ser localmente finita, nos da la idea de conjunto discreto, lo cual desarrollaremos más adelante.

Ahora bien, ¿De dónde proviene este concepto? ¿Para qué sirve? Bien, para responder a estos interrogantes debemos remontarnos a 1987 cuando Rafael Sorkin y su equipo propusieron este concepto como una aproximación a la teoría de la gravedad cuántica.

Su propósito es establecer como la estructura más fundamental del espacio-tiempo, al orden causal de este. Así se forman principios del espacio-tiempo, los cuales son:

1. El espacio-tiempo es fundamentalmente discreto. Esto quiere decir, que es una colección de puntos discretos del espacio-tiempo. Estos son llamados elementos del conjunto causal.

2. Los eventos del espacio-tiempo están relacionados por un orden parcial . Esta relación de orden abstrae la relación de causalidad que se da entre los puntos del espacio-tiempo.

Así, podemos decir que el conjunto causal representa el conjunto de eventos espacio-temporales (suceso asociado con un punto en el espacio-tiempo), mientras que la relación de orden, representa la relación causal entre eventos.

Una proposición interesante, fue propuesta por Bombielli en 1987, la cual expresa las siguientes afirmaciones:

1. La gravedad cuántica es una teoría cuántica de conjuntos causales.

2. Un espacio-tiempo continuo es una aproximación de conjunto causal subyacente.

Para entender mejor, vamos a hacer un apunte importante con respecto a qué significa una aproximación del continuo. Una analogía útil a tener en cuenta es la de un fluido macroscópico, por ejemplo, un vaso de agua. Aquí, hay una multitud de configuraciones de nivel molecular correspondientes al mismo estado macroscópico. De manera similar, hay una multitud de conjuntos causales aproximados por el mismo espacio-tiempo. Y, al igual que el conjunto de microestados permitidos del vaso de agua depende del tamaño molecular, el microestado del conjunto causal depende de la escala de discreción (Vc), que es un límite de volumen espacio-tiempo fundamental.