Un poco de orden, por favor

¿Qué es el orden? para responder a la pregunta, debemos empezar por el principio como en todo, de manera ordenada, respondiendo a la pregunta ¿Es posible ordenar un conjunto?, la respuesta casi que inmediata es afirmativa, sí se puede ordenar un conjunto tal y como nosotros ordenaríamos cualquier conjunto físico e.g. una bolsa llena de patatas la ordenaríamos por peso, tamaño, etc., al responder entonces esta primera pregunta naturalmente surge una nueva inquietud: ¿Cómo se ordena un conjunto? ahí la respuesta se vuelve un poco más compleja, para ello se vuelve indispensable una mirada mucho más profunda a la teoría de conjuntos.

Sea R una relación sobre A, se dice que R es una relación de orden parcial si y sólo si goza de las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, dicho de otra manera:

Definida entonces la forma de la relación de orden, definimos un conjunto parcialmente ordenado C, notado por el par (C,≤), de tal manera que ≤ es una relación de orden parcial, esto nos da una mejor idea de cómo se podría ver el orden en un conjunto, aunque podríamos saber aún más sobre la estructura de C si supiéramos la manera en la que se relacionan sus elementos, o por lo menos si todo elemento puede relacionarse (compararse) con al menos uno distinto.

Sea (C,≤) un conjunto parcialmente ordenado, se dice que es totalmente ordenado si y sólo si todo par de elementos están relacionados entre sí, es decir:

este tipo de conjuntos suelen también ser llamados cadenas ya que su estructura de orden tiene similitudes con estos objetos físicos.

¿Realmente existe diferencia entre estos dos tipos de conjuntos ordenados? la pregunta anterior parece que tiene lógica ya que estamos acostumbrados a estas cadenas de orden, no solemos encontrarnos en situaciones donde nuestro cerebro interprete relaciones de ordenes parciales ya que estamos hechos para encontrar relaciones entre todo lo que nos rodea, un ejemplo de esto es la pareidolia, un fenómeno psicológico donde un estímulo vago y aleatorio es percibido erróneamente como una forma reconocible. Estamos hechos para encontrar relaciones totales de orden, aunque esto no implica que los ordenes parciales no existan, un ejemplo claro es la relación de contenencia en cualquier conjunto de conjuntos. Podemos ver la diferencia esencial que existe entre los dos tipos de conjuntos ordenados (parciales y totales), mientras que los primeros tienen un diagrama de Hasse tipo "árbol", como el siguiente que es para la contenencia en el conjunto de partes para {x,y,z}

los diagramas de Hasse para un orden total tienen entonces la forma que se anticipa, una cadena, por ejemplo la relación "es menor que" en el conjunto {1,2,3,4}

Elementos maximales y minimales

Un elemento se dice maximal si para todo elemento del conjunto ordenado (C,≤), el elemento candidato a serlo, ma, cumple que ma≤x implica necesariamente que ma=x.

Similarmente un elemento se dice minimal si para todo elemento del conjunto ordenado (C,≤), el elemento candidato a serlo, mi, cumple que x≤mi implica necesariamente que mi=x. Estos elementos de existir son únicos.

Esta noción de elemento maximal y minimal da la idea de cota, tope, superior e inferior.

las cotas superiores e inferiores de un subconjunto X⊆C. Los conjuntos de las cotas superiores e inferiores de X se denotan por X+={c∈C:x≤c para todo x en X} y

X-={c∈C:c≤x para todo x en X}, respectivamente. De aquí se define que sup(X)=min(X+) e inf(X)=max(X-)

Buen orden

Otra definición más, buen orden, se tiene que un conjunto parcialmente ordenado (C,≤) está bien ordenado si todo subconjunto no vacío de C tiene un elemento que sea el más ''pequeño'', es decir

Dadas las definiciones anteriores llega el momento de preguntarnos ¿Puede todo conjunto ser ordenado?. Para responderla, podríamos estar motivados por el conjunto de los números naturales, donde se tiene

Principio de buena ordenación

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Si tomamos el orden usual de los naturales, ≤, podemos enunciar que en cualquier conjunto de números naturales A ⊆ N distinto del conjunto vacío, A ≠ ∅, existe un mínimo, es decir, un número n ∈ A menor o igual que cualquier número de A.

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Extender esta proposición a cualquier conjunto X distinto de vacío, se conoce formalmente como el teorema del buen orden, o más bien

Teorema de Zermelo

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Para todo conjunto X≠ ∅,existe un buen orden con dominio X.

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Para su demostración rigurosa, debemos tener entonces los siguientes lemas:

Lema 1: Todo subconjunto finito de un conjunto no vacío A puede ser bien ordenado.

Demostración:

Lema 2: El conjunto de todos los subconjuntos X de un conjunto A que son bien ordenados, es ordenado.

Demostración:

Lema 3: Si el conjunto de todos los subconjuntos X de un conjunto A que son bien ordenados tiene un elemento maximal, entonces A puede ser bien ordenado .

Demostración:

Lema 4: Toda cadena del conjunto de todos los subconjuntos X de un conjunto A que son bien ordenados tiene una cota superior.

Demostración:

Demostración del Teorema de Zermelo:

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Queda entonces demostrado que cualquier conjunto puede ser bien ordenado, en el esquema axiomático ZFC, sin importar su cardinal.

Hasta aquí llega la entrada del orden, un concepto que muchos damos por hecho pero que vale la pena revisitar.

Bibliografía:

-Halmos, Paul R. Naive Set Theory. Mansfield Centre, Conn: Martino Pub, 2011.

-De castro, Rodrigo. Villaveces, Andrés. Notas de clase para el curso « Introducción a la teoría de conjuntos», 2020.

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