Una prueba del teorema Cantor-Bernstein-Schröder

En el estudio de los conjuntos, surge la duda de cuantos elementos puede poseer cada uno, y más aún si se tienen conjuntos infinitos, ya que el concepto de tener más o menos elementos, se oscurece debido a las limitantes de representación en el mundo tangible. A esta propiedad intrínseca de los conjuntos, se le es llamada "Cardinalidad". Con proposiciones como el Teorema de Cantor, se ha evidenciado que cualquier conjunto siempre tiene menor cardinalidad que su conjunto partes. Esto evidencia claramente que el conjunto de mayor cardinal no existe, es decir, no hay máximo en este tipo de orden parcial (ya que tampoco puede denominarse así, debido a que no hay un conjunto de referencia. Recuerde que la clase de todos los conjuntos, no es un conjunto). Otro tema interesante a discutir, es si este "orden parcial" puede ser total. Aquí se encuentra una de los primeros contactos del Axioma de Elección con el concepto de Cardinalidad, ya que la respuesta a esta incógnita es positiva en caso de que se acepte el Axioma de Elección en el universo tratado.

Un resultado muy importante respecto a este tratamiento de cardinalidad, es el Teorema de Cantor-Bernstein-Schröder, el cual se puede entender como un tipo de anti-simetría de cardinales.

La prueba de dicho Teorema consiste en generar un tipo de partición específica de cada uno de los conjuntos a partir de las funciones inyectivas dadas, para con ello, lograr asignar completamente cada sección de el conjunto 1 a otra del conjunto 2 y viceversa. Dicha prueba constructiva da una idea de representación, pero no hay que quedarse con el primer vistazo, ya que la intuición puede hacer recaer en errores.

Recordando las palabras de Henri Poincaré: "La geometría es el arte de razonar sobre figuras mal hechas". Esto para recordar que la representación mostrada no es correcta, ya que no se sabe si dichas particiones cubren todo el espacio, por el momento...

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