Una breve introduccion a la teoria de conjuntos ZF

Es muy difícil empezar un nuevo curso en Matemáticas sin escuchar en las primeras clases la frase “Definición: Un ______ es un conjunto …”, esto debería ser suficiente evidencia para ver porque la Teoría de Conjuntos es uno de los pilares fundamentales de la Matemática, y por ende de la Física, y que debería ser tratado con el respeto que merece, así que démosle un vistazo a como se construye. La construcción mas ampliamente utilizada es usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) y es esa la que vamos a introducir aquí. También mostraremos las formulaciones de estos axiomas utilizando lenguaje lógico formal.

Es difícil elegir cual axioma debe ser el primero en introducir, así que empezaremos con el “más fácil de desarrollar” por ponerlo de esa forma:

- Axioma del conjunto vacío:

o Existe un conjunto sin elementos.

Este axioma nos da un suelo con el que empezar a trabajar, pero por si solo no nos llevara muy lejos. Nótese que el axioma dice “un conjunto sin elementos”, pero cualquier persona con cierto bagaje en manejo de conjuntos podría pensar que este axioma se refiere a EL conjunto vacío. Como estamos construyendo la teoría de conjuntos desde cero, no podemos todavía asegurar que ese conjunto es único, por ahora solo sabemos que existe algún conjunto sin elementos.

Aquí entra nuestro siguiente axioma:

- Axioma de extensionalidad:

o Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos

Aquí podemos ver que, de hecho, el conjunto vacío es único. Se puede ver que hemos logrado cierto progreso cuando se trata del conjunto vacío, pero fuera de el no podemos hacer mucho, así que ahora introduciremos axiomas más “generales”:

- Axioma de pares:

o Dados dos conjuntos x, y, existe un conjunto cuyos elementos son solamente x y y.

Este axioma de hecho puede enunciare como " existe un conjunto al que x, y pertenecen" sin restringir que ese conjunto posea mas elementos. Esto es posible gracias a que el esquema axiomático de especificación nos permite asegurar la existencia de un conjunto que contenga solamente a x y y. A pesar de esto, omitiremos la contrucción de ese conjunto ya que esta es una introducción bastante simplificada a los axiomas ZF y enunciaremos la existencia de aquel conjunto como axioma.

Aquí ya podríamos empezar a definir lo que es una pareja no ordenada, pero continuaremos mencionando tres axiomas más para finalmente enunciar que se podría construir hasta el comento con los axiomas que tenemos

- Axioma de la unión

• Dada cualquier colección de conjuntos C, existe un conjunto UC llamado unión de C que contiene a todos los elementos de cada conjunto de C.

- Axioma del conjunto potencia

• Para todo conjunto x, existe otro conjunto P(x) que contiene a todos los subconjuntos de x.

Estos axiomas, a pesar de parecer un poco más complejos, son fáciles de interpretar y de hecho resultaran bastante familiares para cualquiera que se haya topado con conjuntos durante su carrera. Ahora pasaremos al ultimo axioma de esta entrada de blog, que de hecho no es un axioma, sino infinitos axiomas, ya que es un esquema axiomático.

- Esquema axiomático de Especificación:

• Sea P(x) una propiedad de x, para cualquier conjunto A, existe un conjunto B para el cual sus elementos son exclusivamente los x que pertenezcan a A, y que cumplan la propiedad P(x)

Aqui la descripción de este axioma resulta un poco más simplificada, ya que se deberia enunciar que la propiedad P(x) puede poseer otros parametros y se deberia tambien especificar que este esquema axiomático se refiere a todo parametro, para mantener esta introducción suficientemente sencilla esto se omitirá.

Con estos axiomas, ya contamos con un suelo bastante firme para desarrollar un tratamiento formal de los conjuntos, como definir las operaciones de unión, intersección, diferencia, etc. Y tambien tenemos que hemos eliminado una de las paradojas mas famosas, la paradoja de Russell. Vamos a ver como se elimina.

La paradoja construye un hipotético conjunto R, donde sus elementos son todos aquellos conjuntos que no se contienen a si mismos:

Y aqui entra la pregunta ¿R pertenece a R?

En este planteamiento R pertenece a R si y solamente si R no pertene a R, y aqui es donde se forma la paradoja. Pero con la teoria ZF podemos abordar este problema muy facilmente, ya que el correcto planteamiento seria que R es el conjunto de todos los conjuntos en algun conjunto A, tales que no se contienen a si mismos, o sea:

En este caso A seria el hipotetico "Conjunto de todos los conjuntos", esto para que los elementos de R fueran ABSOLUTAMENTE TODOS los conjuntos que no se contienen a si mismos, pero este conjunto hipotetico A es imposible.

Aqui la pregunta de si R pertenece a R se responde con que R pertenece a R si y solamente si R pertenece a A y R no pertenece a R:

Notese que aqui, que R no pertenezca a R no implica que R pertenezca a R, o sea eliminamos la paradoja, ya que tambien depende de que R pertenezca al hipotetico conjunto A, el cual de hecho no existe, ya que su existencia llevaria a contradicciones.

Aqui termina esta breve introducción a la teoria ZF, todavia queda pendientes ciertos axiomas y el controversial Axioma de Eleccion, a pesar de que este no pertenezca a la teoria ZF como tal.