Inicio de la teoría de conjuntos

Antes de abordar esta problemática actual de la física vía teoría de conjuntos, se debe tener una idea concisa de lo que es un conjunto y su estructura.

Durante el siglo XIX se buscó axiomatizar la teoría de conjuntos, de manera que no se presentaran inconsistencias en la estructura de conjuntos. Durante este periodo de formulación de axiomas, surgieron, con las formulaciones hechas, problemas graves, tales como la paradoja de Russell.

Ya en el siglo XX, fue posible, por medio de los axiomas de Zermelo Fraenkel, formular una axiomática capaz de controlar las paradojas presentadas anteriormente.

Desde este punto, se puede definir un conjunto tal y como se conoce hoy en día. Un conjunto es una colección de objetos bien definida, es decir, que cumple la axiomática de ZF. A partir de esta definición, se puede hablar de pertenencia, contenencia, uniones, igualdad, pares, etc... donde se usan los axiomas de extensión, extensionalidad, conjunto vacío, pares, uniones, partes., esquema de especificación y esquema de reemplazo.

Más adelante, se presentarán ciertos problemas a la hora de definir conjunto infinitos, tales como el conjunto de los naturales, por lo que se requerirá un axioma de infinitud. Y más adelante, se presentara el axioma más importante de toda la teoría de conjuntos y por el cual, la matemática logró avanzar en numerosas ramas durante el siglo XX. El axioma de elección, acompañado de su equivalencia más conocida, el Lema de Zorn.

A partir de este último axioma se obtendrá toda la teoría a usar para el planteamiento del problema de Gravedad Cuántica.

Teniendo un buen dominio del concepto de conjunto, se puede iniciar con el problema real.

En la imagen se puede hacer una idea gráfica de un significado del axioma de elección, donde, de infinitos conjuntos, se selecciona un único elemento de cada uno y se forma un nuevo conjunto.