¿Matemáticas+Filosofía+Física=Teoría de Conjuntos?

Cada que se piensa en la teoría de conjuntos, puede que en la mente se produzcan las conexiones necesarias - y suficientes- para transmitirnos la idea de «lo abstracto». Desde ese punto es que cualquier persona puede comenzar a dimensionar (si es que aún no lo ha hecho) la grandeza de las matemáticas, y no sólo como herramienta, sino como sistema de pensamiento. La teoría de conjuntos es, hasta donde he podido leer y entender, la base de nuestro conocimiento matemático y puede que sea la teoría fundamental que nos ayude a resolver incluso problemas más allá de si, por ejemplo, la gravedad cuántica.

La Física siempre se ha nutrido de los avances matemáticos y viceversa, evidencia de una relación bilateral donde cada integrante empuja al otro para que no se quede atrás ninguno, una unión que siempre ha estado destinada a permanecer a través del tiempo, citando a Galileo Galilei: “La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ qua li è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un a ggirarsi vanamente per un oscuro laberinto” (Il Saggiatore-1623) que traduce "La filosofía está escrita en este gran libro que está continuamente abierto ante nuestros ojos (hablo del universo), pero no se puede entender a menos que primero se aprenda a entender el idioma, y ​​se conozcan los caracteres, tampoco lo que he escrito. Todo está escrito en lenguaje matemático, y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una palabra de ellos; sin estos es un vano deambular por un laberinto oscuro ". Galileo retrata muy bien el sentir de la mayoría de las personas que disfrutan de la ciencia y sus misterios, aunque no basta con aprender el sistema numérico y sus reglas aparentes, incluso el cálculo, siendo una herramienta poderosamente diseñada, se queda corto ante la inmensidad de conocimiento que yace embarullado en las entrañas del universo. Es por esto que, a mi parecer, adentrarse en las teorías fundamentales de la matemática es, entonces, más que una elección, un deber en el camino del conocimiento.

Por esto es que la teoría de conjuntos es tan atractiva, su construcción axiomática recuerda a las grandes teorías de la ciencia como Los Elementos de Euclides, o philosophiæ naturalis principia mathematica del gran Sir. Isaac Newton, pero a diferencia de estas, la teoría de conjuntos se sienta sobre las bases de la noción mas grande (de manera literal) que tenemos los humanos: el infinito. El infinito es un concepto tan grande y tan difícil de capturar que fueron necesarios varios milenios hasta que pudiéramos entenderlo, encapsularlo en definiciones concretas, dotarlo de propiedades conocidas, y por fin ganarle la batalla al infinito. Georg Cantor, nuestro comandante intelectual en esta tremenda hazaña, es también el padre de la Teoría de Conjuntos, junto con Richard Dedekind. Es gracias a ellos que hoy entendemos la naturaleza de los números transfinitos (cardinales y ordinales), sentando las bases de la matemática moderna. Para ejemplificar las diversas naturalezas de los números transfinitos, se puede recurrir a la prueba que hace Cantor sobre la diferencia de los infinitos contables e.g. la cantidad de números naturales, y los no contables e.g. la cantidad de números que hay en la recta real entre 0 y 1, prueba en la que se concluye que no existe una biyección (relación de equipotencia) entre estos conjuntos. Además de eso, se establece que la cantidad de elementos en el "infinito contable" es menor que la del "no contable"(Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre)* e incluso se le nombra al más pequeño como aleph 0, que es la primera letra del alefato, o la primera consonante del alfabeto hebreo, que tomaría también Jorge Luis Borges y lo describiría como “una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor”, cuyo diámetro sería “de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba allí, sin disminución de tamaño”. Según Borges, el Aleph es el punto mítico del universo donde todos los actos, todos los tiempos (presente, pasado y futuro), ocupan “el mismo punto, sin superposición y sin transparencia”. De lo cual se desprende que el Aleph -como concepto- representa, tal como en esta noción matemática, el infinito y, por extensión, el universo.

Y es gracias a esta teoría que también puede que resolvamos el problema más grande de la física moderna: la gravedad cuántica y la naturaleza del espacio-tiempo, como se enunciaba al principio de este texto. Ya se ha visto que la teoría es útil en la mecánica cuántica convencional, explicando la propia naturaleza de los quarks y sus interacciones electrodébiles y fuertes, por lo que, podemos pensar que la física en su base puede usar el lenguaje de los conjuntos y podríamos encontrar por fin la teoría del todo. En las próximas entradas se hablará del cómo podría hacerse, los elementos necesarios, algunos conceptos útiles y de, por qué no, topología.

Enlaces interesantes:

-* http://math.bu.edu/INDIVIDUAL/jeffs/cantor-proof.html

- https://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/