El vacío

El vacío es definido por el primer axioma de Zermelo-Fraenkel, en el cual se describe un conjunto tal que ningún elemento pertenece a él, sea formalmente presentado en lógica de primer orden y conjuntista:

Obtenemos un ente matemático que parece una mera contradicción a simple vista, aunque juega un papel importante en lo que se hablará en este texto. Dada entonces la definición no es difícil intuir (y probar) que este conjunto es único, indistinguible de cualquier otro que no tenga elementos, el propio axioma de extensión dado en entradas anteriores lo prueba de una manera muy directa, pero la mejor forma de pensarlo es haciéndose la pregunta: Si hubieran 2 (o más) conjuntos vacíos distintos, ¿Por qué serían distintos? Si fueran distintos tendríamos que pensar en un "culpable" perteneciente a cualquiera de los conjuntos, pero claro que nunca lo encontraremos ya que no existe ni siquiera un elemento perteneciente a un conjunto vacío. Es por esto que dotamos al conjunto vacío de un nombre especial: "Ø" la letra phi del alfabeto griego. Este conjunto tan importante también cumple una propiedad bastante curiosa, está incluida en todos los conjuntos, podría pensarse de manera análoga en una estructura atómica, más del 99.999...% de un átomo es vacío ya que el tamaño de los núcleos atómicos y de los electrones es irrisorio comparado con el tamaño del átomo en sí (en la visión clásica del átomo) , es decir: todo en el universo, en tanto esté formado por átomos contendrá de igual forma el vacío.

A la luz de la formulación axiomática de ZFC se construyen los números naturales. Se utiliza de base la idea que da Bertrand Russell de que cada número se pueda construir haciendo una biyección desde este hasta un conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. von Newmann formaliza la idea sugiriendo que el dos debería comprender al 0 y al 1. De manera que un número natural debe cumplir que:

Halmos entonces propone la construcción de los números naturales empezando por Ø, el conjunto vacío, de tal forma que este es el 0 y todo sucesor de cualquier número natural n es n+, de esta forma llegamos a que

El uso del axioma del infinito (aún por verse) nos va a dar como resultado el conjunto infinito y bien ordenado de los números naturales.

Ya con el conjunto de los números naturales en la mano, es posible definir los componentes más importantes para todo el análisis real en la teoría conjuntista que proviene de los axiomas de ZFC, ya sean los números irracionales, complejos, la aritmética ,etc. De esto entonces surge en el menor universo de Zermelo, que denotaremos simplemente como Z, en el cual se puede probar que están contenidos todos los elementos más esenciales: los racionales, los reales, el conjunto de Cantor, el espacio de Baire (el espacio de todas las secuencias de números naturales). Ahora si partimos de este conjunto, podemos ver que las matemáticas clásicas tales como: álgebra, análisis, análisis funcional, probabilidad, ecuaciones diferenciales, grupos, espacios vectoriales, topológicos, etc. se pueden construir en Z construidos por conjuntos específicos cuyas propiedades se derivan de varias otras que son, indirectamente, consecuencia de los axiomas ZFC.

Si se mira a fondo esto, podemos convencernos de un hecho impresionante: toda la estructura de la matemática se puede construir usando una única base -el conjunto vacío, Ø. Y más allá de eso, la matemática puede evolucionar más allá y no se limita por este proceso. Llega entonces el momento de preguntarse ¿Puede uno encontrar un constructo base para la física y los objetos físicos? A simple vista, un candidato emerge, el vacío físico.

En el libro de Saunder y Brown, se sugiere una interpretación del vacío tal que es un medio físico altamente rico; dependiendo del rango de interpretaciones, puede ser un ferromagnético, dieléctrico, un superconductor, una fase termodinámica, soporta emisión, transmisión y absorción de partículas/ondas; el vacío sería todo lo que hay. Se tiene entonces que el vacío no debe portar ninguna estructura espacial o temporal per se, o estructura métrica, pero si debe tener una estructura topológica suficiente para construir sobre éste la teoría cuántica (esto puede diferencial el vacío matemático del físico ya que el matemático no tiene consigo ninguna estructura pero el físico sí).

Una buena parte de la discusión del libro de Saunder y Brown gira en torno al estado vacío de un campo cuántico, el cual tiene fluctuaciones y energía del punto cero, tal como se dicta en el principio de incertidumbre. Dos problemas entonces se avecinan: la energía del punto cero puede ser infinita y ¿Cómo lidiar con el campo gravitacional -si es que hay- producido por esa energía de punto cero? de estas preguntas es que nace la noción de que el vacío físico puede (o podría ) ser suficiente para sostener la física. Ahora tenemos varios aspectos que requieren de un breve comentario, ya que sugieren la riqueza del vacío físico: el efecto Casimir; el vacío físico como fuente de partículas, etc. Las primeras dos nos servirán de ejemplo:

-El efecto Casimir:

Se predice que, en la base de las fluctuaciones del punto cero, la fuerza atractiva crece entre dos conductores paralelos ya que las condiciones de frontera para las fluctuaciones del punto cero excluyen los modos normales de ondas que excedan al espaciado entre los conductores,). Las mediciones de esta fuerza generalmente verifican los cálculos aunque la energía relacionada a los modos normales de alta frecuencia arbitraria sea infinita. Por lo tanto el efecto casimir nos dice que la sustracción de infinitos tiene una realidad física. Este efecto, un efecto del vacío físico, es el primer indicio del valor que podría tener el vacío en la física tal como lo tiene en las matemáticas.

-El vacío físico como fuente de partículas

Este seguramente es el ejemplo más conocido ya que día a día, en los Estados Unidos(SLAC, RHIC, por ejemplo) y Europa(LHC, por ejemplo), se llevan a cabo colisiones entre protones y núcleos de metales más pesados, típicamente los protones colisionan con los protones de los núcleos, que si se dan con la suficiente energía, luego de la colisión se habrán creado partículas adicionales, pares protón-antiprotón. La manera estándar de describir dicho proceso es que "Los pares protón-antiprotón son creados gracias a la interacción del haz incidente de protones con el vacío físico". Hay un medio para describir dicha reacción, un preciso modelo físico de los teoremas de Banach-Tarski, con un enfoque en la teoría de conjuntos, tema que será tocado en una próxima entrada del blog.

Dados los ejemplos vemos que existen ciertas similitudes entre el vacío matemático y el vacío físico como fuentes de toda la teoría que se tiene hasta el momento y que se podría tener. Es claro que el vacío físico no tiene aún el estatus de base para el conocimiento, y es posible que nunca lo tenga, pero hay que tener en cuenta las similitudes que hay entre estos dos para entender las similitudes de la física y la teoría de conjuntos.

Referencias:

-Halmos, P. R. Naive Set Theory. New York: Springer-Verlag, 1974.

-Augenstein, B.W. Chaos, solitons & links between physics and set theory. Santa Monica: Elsevier Science Ltd, 1996

-Hernández Hernández, Fernando . Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana. 1998.

-S. Saunders and H. Brown, The Philosophy of Vacuum. Oxford. 1991.