Un poco sobre forcing y problemas independientes a ZFC

Uno de los mayores problemas de la teoría de conjuntos es la hipótesis del continuo, en la cual nos preguntamos si el menor cardinal, distinto al cardinal de los números naturales, es el cardinal de los números reales. Este problema fue “resuelto” por Paul Cohen en 1963 con una nueva técnica llamada forcing, por medio de la cual mostró que la hipótesis del continuo es independiente de los axiomas ZFC, o sea en el modelo ZFC no nos es posible demostrar ni refutar que el valor del continuo sea el cardinal de los números reales.

Aquí daremos una explicación bastante simplificada de esta revolucionaria técnica.

Lo primero es aclarar que Paul Cohen terminó el trabajo iniciado por Gödel en 1938, quien mostró que la hipótesis del continuo (de aquí en adelante CH) era consistente con el modelo ZFC, esto por medio del siguiente proceso: Gödel construyó un modelo de ZFC con un universo L, el cual satisface CH. Este modelo sería la idea intuitiva de “la mínima colección de conjuntos que satisface los axiomas ZFC” y como CH es verdadera en ese universo Lm esta no puede ser refutada por ZFC, o sea CH es consistente con ZFC.

Pero ¿A qué nos referimos con “modelo”? Es un término que no se suele escuchar mucho fuera de cursos de lógica, pero en realidad es muy posible que uno esté familiarizado con él. Por ejemplo, en teoría de grupos, un “modelo de axiomas de grupo” es simplemente un grupo, o sea aquella “estructura” que satisface dichos axiomas. Así mismo un modelo de ZFC es una “estructura” o “universo” que satisface dichos axiomas.

Siendo así, lo que logró Cohen fue que encontró un método suficientemente eficaz para construir otros modelos de ZFC. Uno pensaría que, análogamente al trabajo de Gödel, uno debería construir un modelo que satisfaga ZFC y también la negación de CH. El forcing establece que, bajo ciertas condiciones generales, se puede empezar tomando un modelo M que satisfaga ZFC y “agrandarlo” adjuntando un nuevo elemento U tal que consigamos una nueva estructura, a la cual llamaremos M[U] que continúa cumpliendo ZFC. Este U que vamos a adjuntar está “forzado” a tener ciertas propiedades que le permitan no entrar en conflicto con ZFC y también cumplir la negación de CH.

Obviamente, esta descripción es una gran simplificación del trabajo de Cohen y no es para nada tan rigurosa como se querria, pero es una aproximación suficientemente intuitiva al trabajo de Paul Cohen, el cual nos ayudará a comprender mejor el trabajo de Itamar Pitowsky quien, asumiendo CH, mostró que las llamadas “funciones de spin de Pitowsky” no existen. Este es solo un ejemplo de la estrecha relación que guarda la teoría de conjuntos con la mecánica cuántica.

Referencias:

[1] What is forcing? - Thomas Jech

[2] A beginner's guide to forcing - Timothy Y. Chow

[3] Independence of the Existence of Pitwosky Spin Models - Ilijas Farah and Menachem Magidor